伸展树简介

伸展树(Splay Tree)是数据算法伸展树特殊的二叉查找树。

它的结构解析特殊是指，它除了本身是数据算法伸展树棵二叉查找树之外，它还具备一个特点: 当某个节点被访问时，结构解析伸展树会通过旋转使该节点成为树根。数据算法伸展树这样做的结构解析好处是，下次要访问该节点时，数据算法伸展树能够迅速的结构解析访问到该节点。

特性

和普通的数据算法伸展树二叉查找树相比，具有任何情况下、结构解析任何操作的数据算法伸展树平摊O(log2n)的复杂度，时间性能上更好 和一般的结构解析平衡二叉树比如 红黑树、AVL树相比，数据算法伸展树维护更少的结构解析节点额外信息，空间性能更优，数据算法伸展树同时编程复杂度更低 在很多情况下，对于查找操作，后面的查询和之前的查询有很大的相关性。高防服务器这样每次查询操作将被查到的节点旋转到树的根节点位置，这样下次查询操作可以很快的完成 可以完成对区间的查询、修改、删除等操作，可以实现线段树和树状数组的所有功能

旋转

伸展树实现O(log2n)量级的平摊复杂度依靠每次对伸展树进行查询、修改、删除操作之后，都进行旋转操作 Splay(x, root)，该操作将节点x旋转到树的根部。

伸展树的旋转有六种类型，如果去掉镜像的重复，则为三种：zig(zag)、zig-zig(zag-zag)、zig-zag(zag-zig)。

1 自底向上的方式进行旋转

1.1 zig旋转

 

如图所示，x节点的父节点为y，x为y的左子节点，且y节点为根。则只需要对x节点进行一次右旋(zig操作)，使之成为y的父节点，云南idc服务商就可以使x成为伸展树的根节点。

1.2 zig-zig旋转

 

如上图所示，x节点的父节点y，y的父节点z，三者在一字型链上。此时，先对y节点和z节点进行zig旋转，然后再对x节点和y节点进行zig旋转，最后变为右图所示，x成为y和z的祖先节点。

1.3 zig-zag旋转

 

如上图所示，x节点的父节点y，y的父节点z，三者在之字型链上。此时，先对x节点和y节点进行zig旋转，然后再对x节点和y节点进行zag旋转，最后变为右图所示，x成为y和z的祖先节点。

2 自顶向下的方式进行旋转

这种方式不需要节点存储其父节点的引用。当我们沿着树向下搜索某个节点x时，将搜索路径上的节点及其子树移走。构建两棵临时的服务器租用树——左树和右树。没有被移走的节点构成的树称为中树。

当前节点x是中树的根 左树L保存小于x的节点 右树R保存大于x的节点

开始时候，x是树T的根，左树L和右树R都为空。三种旋转操作：

2.1 zig旋转

 

如图所示，x节点的子节点y就是我们要找的节点，则只需要对y节点进行一次右旋(zig操作)，使之成为x的父节点，就可以使y成为伸展树的根节点。将y作为中树的根，同时，x节点移动到右树R中，显然右树上的节点都大于所要查找的节点。

2.2 zig-zig旋转

 

如上图所示，x节点的左子节点y，y的左子节点z，三者在一字型链上，且要查找的节点位于z节点为根的子树中。此时，对x节点和y节点进行zig，然后对z和y进行zig，使z成为中树的根，同时将y及其子树挂载到右树R上。

2.3 zig-zag旋转

  

如上图所示，x节点的左子节点y，y的右子节点z，三者在之字型链上，且需要查找的元素位于以z为根的子树上。此时，先对x节点和y节点进行zig旋转，将x及其右子树挂载到右树R上，此时y成为中树的根节点;然后再对z节点和y节点进行zag旋转，使得z成为中树的根节点。

2.4 合并

 

最后，找到节点或者遇到空节点之后，需要对左、中、右树进行合并。如图所示，将左树挂载到中树的最左下方(满足遍历顺序要求)，将右树挂载到中树的最右下方(满足遍历顺序要求)。

伸展树的实现

1.节点

public class SplayTree<T extends Comparable<T>> {      private SplayTreeNode<T> mRoot;    // 根结点     public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> {          T key;                // 关键字(键值)         SplayTreeNode<T> left;    // 左孩子         SplayTreeNode<T> right;    // 右孩子         public SplayTreeNode() {              this.left = null;             this.right = null;         }         public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) {              this.key = key;             this.left = left;             this.right = right;         }     } }  

SplayTree是伸展树，而SplayTreeNode是伸展树节点。在此，我将SplayTreeNode定义为SplayTree的内部类。在伸展树SplayTree中包含了伸展树的根节点mRoot。SplayTreeNode包括的几个组成元素:

key – 是关键字，是用来对伸展树的节点进行排序的。 left – 是左孩子。 right – 是右孩子。

2.旋转

/* * 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。 * * 注意： *   (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。 *          将"键值为key的节点"旋转为根节点。 *   (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree.key。 *      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。 *      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。 *   (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree.key。 *      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。 *      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。 */    private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) {         if (tree == null)            return tree;        SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>();        SplayTreeNode<T> l = N;        SplayTreeNode<T> r = N;        SplayTreeNode<T> c;        for (; ; ) {             int cmp = key.compareTo(tree.key);            if (cmp < 0) {                 if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) {                     c = tree.left;                           /* rotate right */                    tree.left = c.right;                    c.right = tree;                    tree = c;                    if (tree.left == null)                        break;                }                r.left = tree;                               /* link right */                r = tree;                tree = tree.left;            } else if (cmp > 0) {                 if (tree.right == null)                    break;                if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) {                     c = tree.right;                          /* rotate left */                    tree.right = c.left;                    c.left = tree;                    tree = c;                    if (tree.right == null)                        break;                }                l.right = tree;                              /* link left */                l = tree;                tree = tree.right;            } else {                 break;            }        }        l.right = tree.left;                                /* assemble */        r.left = tree.right;        tree.left = N.right;        tree.right = N.left;        return tree;    }    public void splay(T key) {         mRoot = splay(mRoot, key);    }  

上面的代码的作用：将”键值为key的节点”旋转为根节点，并返回根节点。它的处理情况共包括：

(a)：伸展树中存在”键值为key的节点”。

将”键值为key的节点”旋转为根节点。

(b)：伸展树中不存在”键值为key的节点”，并且key < tree->key。

b-1) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话，将”键值为key的节点”的前驱节点旋转为根节点。

b-2) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。

(c)：伸展树中不存在”键值为key的节点”，并且key > tree->key。

c-1) “键值为key的节点”的后继节点存在的话，将”键值为key的节点”的后继节点旋转为根节点。

c-2) “键值为key的节点”的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。

下面列举个例子分别对a进行说明。

在下面的伸展树中查找10，，共包括”右旋” –> “右链接” –> “组合”这3步。

 

01, 右旋

对应代码中的”rotate right”部分

 

02, 右链接

对应代码中的”link right”部分

 

03.组合

对应代码中的”assemble”部分

 

提示：如果在上面的伸展树中查找”70”，则正好与”示例1”对称，而对应的操作则分别是”rotate left”, “link left”和”assemble”。

其它的情况，例如”查找15是b-1的情况，查找5是b-2的情况”等等，这些都比较简单，大家可以自己分析。

3.插入

/**      * 将结点插入到伸展树中，并返回根节点      * @param tree 伸展树的根节点      * @param z 插入的结点      * @return      */     private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) {          int cmp;         SplayTreeNode<T> y = null;         SplayTreeNode<T> x = tree;         // 查找z的插入位置         while (x != null) {              y = x;             cmp = z.key.compareTo(x.key);             if (cmp < 0)                 x = x.left;             else if (cmp > 0)                 x = x.right;             else {                  System.out.printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z.key);                 z = null;                 return tree;             }         }         if (y == null)             tree = z;         else {              cmp = z.key.compareTo(y.key);             if (cmp < 0)                 y.left = z;             else                 y.right = z;         }         return tree;     }     public void insert(T key) {          SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null);         // 如果新建结点失败，则返回。         if ((z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null)) == null)             return;         // 插入节点         mRoot = insert(mRoot, z);         // 将节点(key)旋转为根节点         mRoot = splay(mRoot, key);     }  

insert(key)是提供给外部的接口，它的作用是新建节点(节点的键值为key)，并将节点插入到伸展树中;然后，将该节点旋转为根节点。

insert(tree, z)是内部接口，它的作用是将节点z插入到tree中。insert(tree, z)在将z插入到tree中时，仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树，而且不允许插入相同节点。

4.删除

/**      *       * @param tree 伸展树      * @param key 删除的结点      * @return      */     private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) {          SplayTreeNode<T> x;         if (tree == null)             return null;         // 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。         if (search(tree, key) == null)             return tree;         // 将key对应的节点旋转为根节点。         tree = splay(tree, key);         if (tree.left != null) {              // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点             x = splay(tree.left, key);             // 移除tree节点             x.right = tree.right;         }         else             x = tree.right;         tree = null;         return x;     }     public void remove(T key) {          mRoot = remove(mRoot, key);     }  

remove(key)是外部接口，remove(tree, key)是内部接口。

remove(tree, key)的作用是：删除伸展树中键值为key的节点。

它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话，则直接返回。若找到的话，则将该节点旋转为根节点，然后再删除该节点。

伸展树实现完整代码

public class SplayTree<T extends Comparable<T>> {       private SplayTreeNode<T> mRoot;    // 根结点     public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> {          T key;                // 关键字(键值)         SplayTreeNode<T> left;    // 左孩子         SplayTreeNode<T> right;    // 右孩子         public SplayTreeNode() {              this.left = null;             this.right = null;         }         public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) {              this.key = key;             this.left = left;             this.right = right;         }     }     /*  * 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。  *  * 注意：  *   (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。  *          将"键值为key的节点"旋转为根节点。  *   (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree.key。  *      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。  *      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。  *   (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree.key。  *      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。  *      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。  */     private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) {          if (tree == null)             return tree;         SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>();         SplayTreeNode<T> l = N;         SplayTreeNode<T> r = N;         SplayTreeNode<T> c;         for (; ; ) {              int cmp = key.compareTo(tree.key);             if (cmp < 0) {                  if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) {                      c = tree.left;                           /* rotate right */                     tree.left = c.right;                     c.right = tree;                     tree = c;                     if (tree.left == null)                         break;                 }                 r.left = tree;                               /* link right */                 r = tree;                 tree = tree.left;             } else if (cmp > 0) {                  if (tree.right == null)                     break;                 if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) {                      c = tree.right;                          /* rotate left */                     tree.right = c.left;                     c.left = tree;                     tree = c;                     if (tree.right == null)                         break;                 }                 l.right = tree;                              /* link left */                 l = tree;                 tree = tree.right;             } else {                  break;             }         }         l.right = tree.left;                                /* assemble */         r.left = tree.right;         tree.left = N.right;         tree.right = N.left;         return tree;     }     public void splay(T key) {          mRoot = splay(mRoot, key);     }     /**      * 将结点插入到伸展树中，并返回根节点      * @param tree 伸展树的根节点      * @param z 插入的结点      * @return      */     private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) {          int cmp;         SplayTreeNode<T> y = null;         SplayTreeNode<T> x = tree;         // 查找z的插入位置         while (x != null) {              y = x;             cmp = z.key.compareTo(x.key);             if (cmp < 0)                 x = x.left;             else if (cmp > 0)                 x = x.right;             else {                  System.out.printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z.key);                 z = null;                 return tree;             }         }         if (y == null)             tree = z;         else {              cmp = z.key.compareTo(y.key);             if (cmp < 0)                 y.left = z;             else                 y.right = z;         }         return tree;     }     public void insert(T key) {          SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null);         // 如果新建结点失败，则返回。         if ((z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null)) == null)             return;         // 插入节点         mRoot = insert(mRoot, z);         // 将节点(key)旋转为根节点         mRoot = splay(mRoot, key);     }     /*  * 删除结点(z)，并返回被删除的结点  *  * 参数说明：  *     bst 伸展树  *     z 删除的结点  */     /**      *      * @param tree 伸展树      * @param key 删除的结点      * @return      */     private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) {          SplayTreeNode<T> x;         if (tree == null)             return null;         // 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。         if (search(tree, key) == null)             return tree;         // 将key对应的节点旋转为根节点。         tree = splay(tree, key);         if (tree.left != null) {              // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点             x = splay(tree.left, key);             // 移除tree节点             x.right = tree.right;         }         else             x = tree.right;         tree = null;         return x;     }     public void remove(T key) {          mRoot = remove(mRoot, key);     }     /*     * (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点     */     private SplayTreeNode<T> search(SplayTreeNode<T> x, T key) {          if (x==null)             return x;         int cmp = key.compareTo(x.key);         if (cmp < 0)             return search(x.left, key);         else if (cmp > 0)             return search(x.right, key);         else             return x;     }     public SplayTreeNode<T> search(T key) {          return search(mRoot, key);     }     /*    * 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。    */     private SplayTreeNode<T> minimum(SplayTreeNode<T> tree) {          if (tree == null)             return null;         while(tree.left != null)             tree = tree.left;         return tree;     }     public T minimum() {          SplayTreeNode<T> p = minimum(mRoot);         if (p != null)             return p.key;         return null;     }     /*      * 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。      */     private SplayTreeNode<T> maximum(SplayTreeNode<T> tree) {          if (tree == null)             return null;         while(tree.right != null)             tree = tree.right;         return tree;     }     public T maximum() {          SplayTreeNode<T> p = maximum(mRoot);         if (p != null)             return p.key;         return null;     }